De puzzels van Penrose
‘O strenge. wiskunde, ik ben u niet vergeten sinds uw wijze lessen, zoeter dan honing, in mijn hart druppelden. Van de wieg af heb ik er bewust naar verlangd uit uw bron te drinken die ouder is dan de zon.’
Comte de Lautréamont, De gezangen van Maldoror
De legpuzzel is het meest gangbare type puzzel, dat in allerlei variëtei ten bij de erkende speelgoedhandel verkrijgbaar is. Aangezien de legpuzzel ooit machinaal is vervaardigd, is ze per definitie ook door anderen maakbaar. Daarmee onderscheidt deze categorie zich van de puzzel als wiskundig concept, die niet afhankelijk is van een materiële uitvoering. In tegenstelling tot een gewone puzzel is de oplossing hiervan ook niet bij voorbaat gegeven. Een wiskundige puzzel heeft niet een gevuld vlak als vertrekpunt, maar begint bij de vraag hoe een (Euclidisch) vlak op een bepaalde manier met puzzelstukjes te vullen is. Daarbij wordt meestal uitgegaan van een eindig aantal verschil lende vormen. Een puzzel met oneindig veel ver schillende stukjes is voor een wiskundige niet zo interessant. Hij is vooral geïnteresseerd in elegante manieren van ordening. Overigens spreekt hij meestal niet over ‘puzzels’ en ‘puzzelstukjes’ , maar over ’tegels’ en ’tegelproblemen’.
Dat soort proble men zijn op het eerste gezicht heel eenvoudig, maar bij nader inzien vaak zeer ingewikkeld. De vraag bijvoorbeeld hoe je een vlak kunt bedekken met een gegeven aantal verschillende puzzelstukjes, heeft in de laatste decennia heel wat wiskundigen slapeloze nachten bezorgd. Dit ‘betegelen van het vlak’ kun je op twee manieren doen: periodiek en niet periodiek. Periodiek wil zeggen, dat een bepaald patroon zich in twee onafhankelijke richtingen zal herhalen. Bij niet-periodieke puzzelpatronen is er geen sprake van herhaling. In feite levert deze tweede categorie de meest interessante vragen op. Bijvoorbeeld: bestaan er eigenlijk wel verzamelingen van puzzelstukjes, die het vlak uitsluitend niet-periodiek betegelen? Zo’n puzzel heeft een bijzondere eigenschap. Ze zal zich nooit herhalen en zich eindeloos in steeds nieuwe figura ties uitbreiden in het vlak.
Tot voor kort wist niemand of zulke puzzels er zijn of niet. Tegenwoordig zijn alle wiskundigen er van overtuigd dat ze werkelijk bestaan. Sterker nog, ze zijn zelfs in verschillende varianten ‘gevonden’. Het was de Amerikaanse wiskundige Raphael Robinson die in 1971 voor het eerst aantoonde dat een euclidisch vlak met een beperkt aantal verschillende puzzelstukjes ‘niet-periodiek’ te betegelen is. Eerst bewees hij dat dit mogelijk is met 20426 verschil lende stukjes, later met 104 en tenslotte wist hij dit aantal zelfs terug te brengen tot slechts 6.
Daarmee was dit zeer ingewikkelde probleem opeens heel overzichtelijk geworden. De oplossing is ook door iedereen te controleren. Je hoeft immer niets anders te doen dan deze zes puzzelstukjes na te tekenen, het papier een flink aantal keren door de kopieermachine te halen, al die puzzelstukjes vervol gens uit te knippen, en dan: puzzelen maar! Het patroon zal zich dan eindeloos uitbreiden zonder enige vorm van herhaling. Twee jaar na deze ontdekking wist de Britse natuur kundige Roger Penrose dit aantal van zes terug te brengen tot twee.
Opmerkelijk was dat Penrose geen eindeloze berekeningen nodig had, laat staan een krachtige computer. De hele onderneming vergde slechts een potlood en een kladblok. De twee verschillende puzzelstukjes van Penrose zien er op het eerste gezicht nogal simpel uit. De kneep zit hem in de a- symmetrische, driehoekige uitstulpingen, die een eindeloze variëteit in koppelingen mogelijk maken. Iedere doe-het-zelver kan ermee aan de slag. Je kunt er je muren mee behangen, maar ook je vloer mee betegelen en zelfs – als je wilt – het Zaailand of het Sint Pietersplein. De patronen zullen zich nooit herhalen: ‘never a dull moment’!
Rest natuurlijk de vraag of er ook een niet- periodieke puzzel te maken is met maar één puzzel stukje. Zo’n stukje zou je dan eindeloos aaneen kunnen voegen in telkens weer andere patronen. Het zou wat je noemt ‘het ultieme puzzelstukje’ zijn, standaard leverbaar en overal anders toe te passen. Wat je noemt een gat in de markt! Wat een revolutie zou deze vondst teweeg kunnen brengen! Tegelfabrikanten zouden zich verdringen om het patent. Het zou ook een doorbraak betekenen in de puzzelbranche. Iedereen kan dan voortaan allerlei puzzels maken met stukjes die allemaal gelijk zijn.
Het betekent ook het einde van de puzzelvoorstel ling. Geen pittoreske landschapjes meer of melige stadsgezichten. Alleen monochrome puzzels, die op zich zelf al prachtige patronen opleveren, worden als massaprodukt op de markt gebracht. Het voorbeeld is dan eindelijk abstrakt geworden. Op de deksel van de doos zal voorgoed het zwarte vierkant van Malevich prijken: ‘Black squares for the millions!’ Nooit meer een scheiding tussen kopie en origineel. Nee, kunst en leven verenigen zich. Mijnheer Jumbo en mijnheer Ravensburger zullen radeloos zijn. Hun hele collectie is immers in één klap hopeloos verouderd. Puzzelstukjes koop je voortaan per honderd, per duizend of per kilo. Ze zijn toch alle maal hetzeIfde! Puzzelen zal zijn stoffige imago opeens verliezen. Het zal een nieuwe kunstvorm worden, niet alleen als ‘collectors item’ voor de elite, maar ook als een soort ‘Tangram’ voor de massa. Universeel en toch voor iedereen weer anders.
En wat te denken van de gevolgen voor architectuur en stedenbouw? Het vierkant en de rechthoek zullen dan definitief het veld moeten ruimen als basisvorm voor bouwvolumes. De nieuw ontdekte, a-periodieke puzzelvorm kan een aanzet gaan geven tot allerlei vormen van standaardisering, die tegelijk ruimte bieden voor zeer uiteenlopende toepassingen. De eisen van efficiency zullen voortaan niet meer in strijd zijn met de individuele wensen van de consu ment. Interieurs van woningwetwoningen kunnen door deze gelukkige vondst met steeds dezelfde ‘unit’ in steeds wisselende configuraties worden ingericht.
De plattegronden van zieken- en bejaardenhuizen worden met deze nieuwe module een plezierig doolhof, dat tegelijk heel overzichtelijk blijft. Er zullen nieuwe buitenwijken op vinex-locaties verrijzen, maar dan met prachtige stratenplan nen, die overal gelijk zijn en toch altijd weer anders. In een land, dat van oudsher moet woekeren met ruimte, zullen nieuwe mogelijkheden ontstaan op het terrein van ruimtelijke ordening. Ruilverkavelings plannen worden op een nieuwe leest geschoeid. Polders anders ingericht, bollenvelden opnieuw inge zaaid. Kortom, het aanzien van Nederland zal wezen lijk gaan veranderen. De ontdekking van het ultieme puzzelstukje kan op den duur zelfs onze strenge volks aard gaan aantasten. Het kale calvinisme en de kunst van Mondriaan, die hun stempel hebben gedrukt op stad en land, zullen definitief gaan wijken voor een woekering van organische levenspatronen.
Maar we weten helaas nog steeds niet of dit laatste puzzelstukje inderdaad bestaat. Misschien is dat ook maar beter zo. Dit uitzonderlijke exemplaar heeft immers veel weg van een soort ‘sluitsteen van de schepping.’ Het lijkt een wondertegel met mythi sche proporties. Wat je noemt: ’te mooi om waar te zijn’. Al die overspannen verwachtingen hebben ook een fundamentalistische ondertoon. De ultieme standaard van het laatste stukje mag dan garant staan voor een oneindige variëteit in toepassingen, het blijft één standaard. Als die eenmaal is gevon den, zal niemand er aan kunnen ontsnappen. We zullen ons willens en wetens uitleveren aan de dicta tuur van de niet-periodieke patronen, die de wereld voorgoed gaan veranderen.
Opeens zal blijken, dat de natuur geen heilzaam alternatief meer in petto heeft. Een ongebreidelde complexiteit kan ons niet meer genezen van onze vervreemding. Systeem en chaos blijken op de zelfde leest te zijn geschoeid. Er is dan immers geen afwijking meer van de norm, geen toeval dat wetten nog tart. Het wordt definitief een wereld van ‘alles is anders’ en ‘anything goes!’ Maar daarmee is er ook geen uitzondering meer, die de regel bevestigt. De regelmaat bestaat bij de gratie van de afwijking en als de afwijking regel wordt, dan verdwijnt de fundamentele predispositie van het verschil, die het unieke mogelijk maakt. Wil de wereld leefbaar blijven, dan zal zich altijd iets aan standaardisering moeten onttrekken. Al was het maar één stukje van de puzzel, dat niét past.
Dictators zijn zeer gehecht aan uiterst regelmatige patronen, zoals marcherende soldaten, knots zwaaiende menigtes en gigantische figuraties van gekleurde lapjes op de tribunes van een stadion. Dat zijn de periodieke puzzelpatronen, die zich overal aandienen waar het collectieve ideaal de norm wordt en het individu in de massa verdwijnt. Ze lijken te horen bij een eeuw, die gelukkig voorbij is. Het uniform is op zijn retour. We staan aan de vooravond van het tijdperk van niet-periodieke patronen. Dat wordt een tijd, waarin de massa verdwijnt in het individu, een collectieve moraal in relativisme van waarden. De utopie en de ideale structuur maken plaats voor begrippen als ‘deconstructie’ en ‘differentie’. Het verbindend patroon is uiteengevallen in het principe van het fragment. De landkaart van de Balkan is een onoplosbare puzzel geworden.
De tijdloze waarheid verspintert in het besef van een voortdurend ver schil. Ernst verandert in ironie. De filosofie wordt flinterdun. Muziek vervlakt tot een eindeloze varia tie van pulserende ritmes, en de kaleidoscopische patronen van de electronische snelweg reduceren de geest tot een surfplank. Overal is sprake van een toe nemende verscheidenheid in figuraties aan het oppervlak, die niet zelden als vermomming dienen voor een onderliggende, nog onbekende structuur. De chaotische ordening van de Aziatische ‘boom- town’ wordt het nieuwe voorbeeld voor een ’stedenbouw zonder voorbeeld’. Coop Himmelblau tekenden al eens de plattegrond van een buitenwijk op het patroon van een zomers overhemd.
Het uniform wordt een uiting van lifestyle, het clubshirt ontleed in dazzle-painting. In de fractale patronen van Mandelbrot krijgt zelfs de chaos een systeem. De natuur lijkt hiermee een bevestiging te bieden van de huidige fascinatie voor ‘method in madness’. In die zin is de het ultieme puzzelstukje misschien wel een icoon van onze tijd. Hoe het ook zij, in deze grensvervaging tussen orde en chaos lijkt ook een gevaar te schuilen. Als de verscheidenheid aan het oppervlak zijn uiterste grenzen bereikt, is de terreur van de regelmaat misschien wel opnieuw in aan tocht. Wie weet keert Big Brother nog eens terug in een postmoderne gedaante: het Vierde Rijk als Virtual Reality!
Hoewel het ultieme puzzelstukje nog altijd niet is gevonden, is het in principe niet onvindbaar (of moet je ook hier zeggen: ‘on-denkbaar’ of ‘on- construeerbaar’). Er blijkt alleen geen beslissings procedure te bestaan, waarmee de mogelijkheid of onmogelijkheid van dit meest fundamentele puzzel stukje valt aan te tonen. Dat is inmiddels wèl aan getoond. Daarmee blijft de verstokte puzzelaar opgescheept met een pijnlijk probleem. Het laatste stukje ontbreekt en dat is een onaangename gewaar wording. De wereld is nog niet af! Erger nog, wisten we maar dat dit ene stukje niet kàn bestaan, dan hoefden we ook niet verder te zoeken. Nu zijn gene raties wiskundigen misschien wel voor eeuwen gedoemd om door te blijven puzzelen. Hoeveel kladblokken moeten nog vol voordat het verlos sende ‘Eureka!’ kan klinken.
Stel je voor dat dit laatste stukje al ergens op de wereld zich schuil houdt! Misschien heeft iemand het ooit al in handen gehad, maar niet gezien. Misschien heeft M.C. Escher het al eens getekend. Wie zal het zeggen? In het Alhambra van Granada of zelfs in de kelders van het Princessehof kan zich die ene tegel bevinden, die exact de juiste vorm bezit.
De Engelse natuurkundige Rupert Sheldrake beweert bij hoog en bij laag, dat een puzzel makke lijker te maken is, als iemand hem ooit al eens heeft opgelost. Er zou zich dan – wat hij noemt – een ’morfogenetisch veld’ hebben gevormd, waarin de oplossing als het ware ‘besloten’ ligt. Dat veld zou zich in een bijzondere ruimte bevinden, een soort fluïdum, waar ons brein makkelijker toegang toe heeft, sinds het moment dat iemand – waar ook ter wereld – die toegang heeft geforceerd. Hoewel deze stelling nooit bewezen is, zijn er verschijnselen, die wellicht op deze wijze te verklaren zijn. Vogels bijvoorbeeld schijnen gelijktijdig en op grote afstand van elkaar te kunnen leren hoe je de zilveren dop van een melkfles moet open pikken.
Kruis woordpuzzels uit een oude krant lijken voor een ervaren puzzelaar minder weerstand te bieden dan een cryptogram in de krant van vandaag. Dat laatste is overigens wonderlijk, want degene die de puzzel heeft bedacht, moet hemzelf al hebben opgelost. Als de theorie van de morfogenetische velden wer kelijk hout snijdt, dan zou het ultieme puzzelstukje - wanneer het eenmaal is gevonden – overal op de wereld vrijwel gelijktijdig moeten opduiken. Opeens ziet iedereen het, terwijl het er altijd al was. Maar waar was het dan, toen niemand het zag? Als dat ene stukje ooit in de wereld verschijnt, bestaat het dan nu al, op dit moment? Met andere woorden: is het er al, ook al is het er nog niet?
Of omgekeerd: als er nog niet is, hoe kan het er dan ooit zijn? Wat betekenen in dit verband de woorden ‘er zijn’? Waar zijn, hoezo zijn? Zweeft dit stukje – als Idee – ergens rond buiten de grot van Plato? Of ontstaat het pas als zijn contouren vagelijk zichtbaar worden in patronen op het behang? Stond het al op de deksel van de doos, toen God de wereld schiep? O liet hij het uit zijn handen vallen en hangt het nog ergens aan de zoom van zijn gewaad? Misschien zag hij het even over het hoofd, zoals ook het varken bij de schepping te laat kwam opdagen en alleen nog een krul in zijn staart kon krijgen.
Anders gezegd: heeft de eerste puzzel een deksel gehad of is wiskunde ook zonder ‘voor-beeld’ denkbaar? In het eerste geval is het iets als ‘pain ting by number’: de wiskundige ontdekking behelst slechts het invullen van bestaande patronen. In het tweede geval is de wiskunde zoiets als moderne kunst: er worden voortdurend nieuwe patronen gevonden, waarvoor nog geen invulling bestaat. Kortom: is wiskunde een zaak van ontdekken of creëren? Dat is een vraag, die aan alles voorafgaat, zelfs aan de theorieën van Sheldrake.
Wiskundigen gebruiken wel eens de metafoor van een bergbeklimmer om de aard van hun onderne ming voor gewone stervelingen duidelijk te maken. De top van Mont Blanc bestond allang voordat een mens daar voor het eerst zijn voetstappen achterliet. Toch kun je niet zeggen, dat de eerste alpinist, die boven kwam, ‘de beklimbaarheid van de Mont Blanc heeft bewezen’. Hij heeft de Mont Blanc beklommen! Iedereen die na hem zich een voor stelling meent te kunnen maken van het uitzicht, dat zich op die unieke plek ontrolt, gebruikt zijn fantasie, of herinnert zich een afbeelding, maar spreekt niet uit eigen ervaring.
Wiskundige arbeid is dus een vorm van alpinisme. Je moet er geweest zijn, tegen je zelf kunnen zeggen: ‘Ik sta op een berg verdomme!’ Dan, en alleen dan, ontrolt zich het unieke panorama van de waarheid in de werkelijk heid. Die metafoor van de alpinist, die voortdurend op weg is naar een top en altijd weer nieuwe hoogte punten als uitdaging nodig heeft, vertoont enige gelijkenis met de moeizame en toch ook verslavende arbeid, die een puzzelaar zich moet getroosten om het laatste puzzelstukje op de juiste plaats te kunnen leggen. Zoals een bergbeklimmer alleen stap voor stap zijn doel bereikt, zo dient ook de puzzelaar eerst alle stukjes in handen te hebben gehad, om ook het laatste gat te kunnen dichten.
Puzzelaars en wiskun digen betreden ieder op hun eigen wijze het hoog gebergte van de geest. De lucht is daar ijl, maar het laatste uitzicht vergoedt veel. Een puzzel leggen van de Mont Blanc, waarbij het allerlaatste stukje de hoogste top blijkt te zijn, dat moet voor wis kundigen een kick zijn in het kwadraat!