‘Voor wie dat inziet, bestaat de tijd niet langer als tikkende klok, of als 
tijd die de dingen verspreidt en isoleert. De tijd spiegelt de dingen aan en in 
elkaar. Via de tijd kun je overal komen. Zijn is tijd, God is tijd, de spiegel
 maakt van tweeën één. De tijd van de eeuwigheid houdt dingen bij elkaar. 
En overal waar je bent, is het goed zodra je dit inziet. Want er is maar één moment en dat is dit moment, bestaand uit de eeuwigheid. Alles gebeurt tegelijkertijd en je kunt nergens anders bestaan dan waar iedereen bestaat,
 hier in het heden, altijd. Terwijl ik aan het stuur draai, vinden er myriaden andere gebeurtenissen plaats, die allemaal verbonden zijn via de tentakels van de tijd. In de intensiteit van het ware zien smelten alle tijden samen. 
Ik vloekte nog steeds binnensmonds van blijdschap, maar hield deze vloek 
met opzet binnen, want anders zou ook deze vloek onderdeel van de wereld worden. Want wat door mij heen draaide, draaide ook in de wereld 
door.’

Aldus Wouter Kusters in zijn boek Filosofie van de waanzin . Het is een passage uit een intermezzo getiteld ‘Openbaring’, waarin hij onder meer zijn eigen openbaring beschrijft die hij ervaren heeft in zijn psychose in 2007. Deze autobiografische intermezzo’s vind ik de meest indrukwekkende passages in het boek. De puzzelstukjes lijken dan opeens in elkaar te vallen. Het hoog reikende filosofische betoog daalt dan neer op aarde, waar het meteen weer uitwaaiert in de waanzin, maar nu vanuit het persoonlijke perspectief van de auteur. Het boek heeft een uiterst gecompliceerde structuur die soms aan een fuga van Bach doet denken.

Nu heb ik niet zoveel verstand van Bach, maar ik weet wel dat hij op uiterst gecompliceerde wijze in een compositie vorm en inhoud in elkaar kon laten overgaan. Gevoel en verstand, muziek en religie, dat alles wist Bach op  magistrale wijze te verbinden. Zijn muziek is klank geworden mystiek met een haast wiskundige grondstructuur. In zijn boek Gödel, Escher, Bach (1979) heeft Douglas Hofstadter een verband gelegd tussen de composities van Bach, de zelf-referentiële structuren in de etsen van Escher en de onvolledigheidsstelling van Gödel. Ik heb eerder laten weten dat het boek Filosofie van de waanzin van Wouter Kusters mij doet denken aan de sferentrilogie van Peter Sloterdijk. Met evenveel recht zou je dit boek een plaats kunnen geven naast Gödel, Escher, Bach.

De vier delen van Filosofie de waanzin die in het teken staan van respectievelijk aarde, water lucht en vuur, worden elk voorafgegaan door een vierluik van Escher, waarin een van de elementen is doorgedraaid in de vierhoek. De kristalstructuur als ‘compositie van de wereld’, waarnaar in het boek gezocht wordt, lijkt verbeeld te worden door de compositie van het boek zelf. Er zit een zelf-verwijzend element in het geheel, een motief dat telkens weer opklinkt. Het denken wordt zien en omgekeerd. Over deze verstrengeling van vorm en inhoud was in het voorwoord al het een en ander gezegd. Op pagina 395 schrijft Kusters:

‘De inhoud, structuur en gedachten van de openbaring toen zijn op een merkwaardige manier verweven met de theorie en gedachten van nu in 
*dit* boek. Het model in *dit* boek waarmee ik de waanzin begrijpelijk wil maken, is tevens het model dat me toen in de waanzin deed verzinken 
- wat overigens slechts een extra – Münchhauseniaanse én Moebiusiaanse – aanbeveling is voor dit model. Baron von Münchhausen trok zich aan zijn eigen haren uit het moeras. De arm die trok was de arm die getrokken 
werd, net zoals de tekst waarmee ik de waanzin bespreek de tekst is die 
de waanzin uitdrukt. De ring van Moebius laat 
zien hoe een vorm van omkering ten grondslag ligt aan het overspringen 
van objectniveau (de waanzin) naar subjectniveau (de filosofie) en omgekeerd.’

Een hoofdstuk is gewijd aan aan de ‘Oneindigheidsval: de  Ω -waan’. Wiskunde en mystiek convergeren hier in ervaringen en die ook in de psychotische waan kunnen optreden. In het betoog van Kusters komt de wiskundige Rudy Rucker uitgebreid aan bod, maar ook de verzamelingenleer van Cantor die ook in het boek in  Gödel, Escher, Bach een belangrijke rol speelt. Wiskunde ging van oudsher over getallen en ruimte. Dat was al zo sinds de oude Grieken. Maar gaandeweg bleek dat er allerlei soorten getallen zijn: natuurlijke, rationale, irrationele, negatieve en imaginaire en zelfs oneindige getallen. Het bleek dat er ook verschillende ruimten bestaan, en niet alleen de Euclidische ruimte. Maar toch, wiskunde bleef gaan over getallen en ruimte. En toen kwamen de verzamelingen. Cantor (1845-1918) ontdekte dat verzamelingen handig zijn bij de oplossing van allerlei problemen die betrekking hebben op het continuüm (de verzameling van alle reële getallen). Het waren de wilde jaren van de wiskunde, zo’n honderd jaar geleden, toen ook de mystiek, de esoterie en het spiritisme een bloeitijd beleefden.

Jaren geleden las ik het jeugdwerk van de Nederlandse wiskundige L.H. Brouwer, Leven, kunst en mystiek (1905). ‘Een machtig brouwsel’, zo noemde Frederik van Eeden dit wonderlijke geschrift. ‘Brouwsel’ is misschien ook wel de juiste benaming. Als je wiskunde als een vorm van mystiek gaat zien, dan lever je flink wat in als het gaat om helder denken. Wiskunde is geen mystiek, al heeft mystiek dan mogelijk iets met oneindigheid van doen. De kloof tussen de twee domeinen geest en werkelijkheid is niet te overbruggen door een brouwsel van getallen en gelijkenissen. De kracht van de wiskunde ligt juist in het expliciet maken van het ongelijke in het gelijke. De wiskundige lost een vergelijking op. Een mysticus laat zich meevoeren door gelijkenissen.

Het is een bekend feit dat de Brouwer op latere leeftijd Wittgenstein geholpen heeft om over een dood punt in zijn denken heen te komen. Wittgenstein woonde een lezing bij van Brouwer en heeft daarna zijn denkwerk weer opgevat, dat na zijn Tractatus was vastgelopen. Aan Brouwer hebben we dus eigenlijk de Filosofische onderzoekingen van Wittgenstein te danken.

Ooit schreef ik zelf een verhaal over de eigenaardigheden van het Oneindige. Ik ging uit van de  hypothese dat er zoiets zou bestaan als de oneindige verzameling van gedachten. Die hypothese heb ik als metafoor ingezet in een poging om de kloof tussen het eindige en het oneindige te overbruggen. Al kom je hierbij dicht in de buurt van het principe van de Moebius – het centrale thema ook van Escher – toch blijft het een metafoor. Een mysticus meent dat hij de kloof tussen het eindige en oneindige kan overbruggen, maar hij raakt in feite verstrikt in een proces van projectie en spiegeling. Een mysticus ziet zijn eigen spiegelbeeld zich oneindig verdubbelen in twee spiegels, de een voor hem, de ander achter hem. Zo meent hij het Oneindige in beeld te krijgen. Maar het is een illusie, evenals deze poging tot verklaring van mij niet meer is dan een metafoor, een gelijkenis dus, waarin het ongelijke niet expliciet is gemaakt.

Kusters lijkt gefascineerd door het idee van het Oneindige zoals dat door wiskundigen in kaart is gebracht. Hij verbindt dit wiskundige Oneindige met zijn eigen mystieke openbaring van oneindigheid, een openbaring  die hij tijdens zijn waan heeft ervaren. Daarmee duikt hij zo’n honderd jaar terug in de tijd. Wederom slaat hij een brug tussen het wiskundig Oneindige en iets wat zich ‘aan gene zijde’ zou moeten bevinden, hoewel het mij nog steeds niet helemaal duidelijk is of hij hiermee werkelijk een bovennatuurlijke transcendentie op het oog heeft. Of is het soms een platonische ‘achterwereld’? Maar wat heeft die ‘achterwereld’ dan precies met mystiek of openbaring van doen?

Ook Gödel was een platonist. Veel wiskundigen zijn of waren dat, maar niet allemaal. Er zijn ook andere metafysische opvattingen mogelijk. De term ‘aan gene zijde’ ben ik slechts één keer tegengekomen in Filosofie van de waanzin. Dat was in een passage (op pagina 408), waar het betoog overgaat in een beschouwing over ‘de donkere spiegel’ in Paulus’ Korinthiërbrief. ‘Het christendom,’ zei Nietzsche,’ is platonisme voor het volk’. Is Wouter Kusters dan soms een elitair soort christen? Het type Griekse filosoof, waar Paulus tegen ten strijde trok?

Bovenstaand schema is ontleend aan het boek van Rudy Rucker: Oneindigheid. Filosofie en wetenschap van het oneindige (1986). Volgens Rudy Rucker zijn er twee opvattingen over de werkelijkheid. De werkelijkheid komt voort uit het Ene, zoals Plato beweerde. Of de werkelijkheid is een oneindige verzameling, anders gezegd: de werkelijkheid is het Vele. Als 
je een verzameling als N (bijvoorbeeld de verzameling van alle natuurlijke getallen) als 
één bepaald object beschouwt, dan heb je het in feite over een oneindige verzameling. Maar bestaat zoiets wel, een oneindige verzameling? Als wiskundige heb je twee mogelijkheden je bent een platonist of een formalist. Platonisten geloven in het objectieve bestaan van oneindige verzamelingen. Formalisten daarentegen geloven dat eindige beschrijvingen van wiskundige theorieën het enige is waarover we kunnen beschikken.

Maar er is nog een middenweg tussen beide standpunten. Dat is het intuïtionisme, hoewel dat eigenlijk ook een beetje een verkapt formalisme is. Zowel de de intuïtionist als de formalist geloven dat alleen potentiële 
oneindigheid kan bestaan. Een feitelijke oneindigheid zou volgens hen onmogelijk zijn. In hun optiek behoort het feitelijke oneindige in feite tot het Ene. Want als je N (de verzameling van alle natuurlijke getallen) beschouwt als een ongrijpbare Vele, behandel je N als een potentieel oneindige, nooit te voltooien verzameling. Toch weet de intuïtionist een uitweg te vinden uit een gebied, waar zowel de platonist als de formalist op een doodlopende weg uitkomen: het axioma van de logica, het principe van de uitgesloten derde, tertium non datur. Over die ontsnappingsroute gaat het volgende verhaal. Het is een verhaal dat zich begeeft in het meest glibberige grensgebied van de wiskunde, het gebied van ‘de verzameling van alle verzamelingen’. Zoiets als Plato in het kwadraat.

***

Een gedachte-experiment. Stel dat alle boeken in de Provinciale Bibliotheek (Tresoar) te Leeuwarden een drukfout bevatten (1), en de dissertatie van L.E.J. Brouwer uit 1907 Over de grondslagen der wiskunde is een boek dat te vinden is in de bibliotheek (2). Dan volgt onontkoombaar de conclusie: het boek Over de grondslagen der wiskunde van L.E.J. Brouwer bevat een drukfout (3). Hier lijkt geen speld tussen te krijgen, maar toch zijn er mensen die de geldigheid van deze redenering in twijfel hebben getrokken. Wat gebeurt er eigenlijk? In de eerst plaats worden twee veronderstellingen van verschillende aard met elkaar gecombineerd: een zeer onwaarschijnlijke (1) en een voor het verloop van de redenering noodzakelijk ware (2). Deze veronderstellingen hebben beide betrekking op een verzameling objecten (A) en een eigenschap (E) van die objecten, namelijk het hebben van een drukfout. Al deze elementen zijn ondergebracht in een logische redenering met een bekend schema:

Als X de eigenschap E heeft (1)
En A behoort tot de verzameling X (2)
Dan heeft A de eigenschap E (3)

Tot zover is er niets aan de hand. Alle mensen zijn sterfelijk, Socrates is een mens, dus Socrates is sterfelijk. Maar laten we ons beperken tot de boeken in de Provinciale Bibliotheek. De redenering in dit voorbeeld gaat er vanuit dat alle boeken zonder drukfout niet in die bibliotheek te vinden zijn, geen onderdeel vormen van de verzameling, dus ook niet identiek kunnen zijn met het bepaald exemplaar uit die verzameling, namelijk het boek van Brouwer. Maar deze redenering is niet omkeerbaar. Als het boek van Brouwer een drukfout heeft, en dit boek is in de PB te vinden, dan volgt daar nog niet uit dat alle boeken zonder drukfout niet identiek kunnen zijn met het boek van Brouwer. Met andere woorden: dat een bepaald boek een drukfout heeft zegt nog niets over de identiteit ‘boek’ van een boek. Dit bepaalde boek met drukfout kan tegelijkertijd behoren tot een verzameling objecten met de identiteit ‘boek’ die wat groter is dan de PB en waarin ook exemplaren te vinden zijn zonder drukfout.

In ons voorbeeld wordt een veronderstelling gedaan over een eindige verzameling, namelijk een bibliotheek, en niet over een oneindige verzameling, bijvoorbeeld een getallenreeks. Ik zou alle boeken uit de PB stuk voor stuk kunnen opvragen en ze letter voor letter kunnen gaan naspellen. Bij het eerste boek zonder drukfout valt de hele redenering in duigen, want hij heeft dan geen realiteitswaarde meer. Dat wordt anders als je een bibliotheek in gedachten neemt met een oneindige omvang, van nu af te noemen de ‘Oneindige bibliotheek’, afgekort OB. Ten eerste kun je dan alle boeken niet stuk voor stuk opvragen, laat staan naspellen. Als je het toch gaat proberen en na tachtig jaar nog steeds geen boek zonder drukfout bent tegengekomen, dan kun je twee dingen doen. Of je zegt: ‘Ik geef het op en ga nu dood.’ Of je kunt alsnog de veronderstelling koesteren dat er ergens in de OB een boek moet uithangen zonder drukfout. Generaties trouwe volgelingen van de strenge wiskunde zouden je werk van vader op zoon kunnen voortzetten, en één zal het ooit vinden. Sterker nog, je kunt stellen, dat als je na tachtig jaar trouwe arbeid deze veronderstelling niet zou doen, blijkbaar alle boeken in de OB een drukfout hebben. En waarin verschilt de OB dan nog van de PB in ons voorbeeld?

Maar nu is er iets eigenaardigs gebeurd. De trouwe volgeling moet na tachtig jaar overgaan tot een bewijs uit het ongerijmde, de krampachtige poging om het bestaan aan te tonen van en bijzonder exemplaar van het verschijnsel boek, namelijk eentje zonder drukfout, om daarmee een dreigende tegenstrijdigheid te ontlopen: OB is PB. Maar wat lever deze daad van trouw hem op? Hij heeft een fantoom geconstrueerd, een boek zonder drukfout, om daarmee uit alle macht het grondbeginsel van zijn denken in stand te houden, namelijk dat er twee soorten boeken kunnen bestaan: boeken met en boeken zonder drukfout. Een derde soort bestaat niet. Dat zou een boek moeten zijn dat tegelijkertijd zowel een drukfout en geen drukfout bevat, en dat is absoluut onmogelijk. Tertium non datur, het principe van de uitgesloten derde kan niet worden verworpen. Sa is it en net oars.

Maar is dat wel zo? Laten we terugkeren naar ons voorbeeld. Het boek van Brouwer in de Provinciale Bibliotheek: ‘Over de grondslagen der wiskunde’. Het toeval wil dat dit boek daar inderdaad aanwezig is. In de alfabetische catalogus ergens tussen De gouden swipe van Abe Brouwer uit 1941 en Zondagsrust, een voordracht gehouden te Leeuwarden, door H. Brouwer op 3 december 1883 vond ik de titel van dit boek. Ik had nog nooit van L.E.J. Brouwer gehoord, maar ik kwam zijn naam ooit tegen in het dikke boek van Hofstadter Gödel, Esscher, Bach, een eeuwige gouden band In een van de vele langdradige conversaties tussen Achilles en de Schildpad, die in dit boek staan afgedrukt, geeft Achilles een raadsel op. Hij toont een gouden Aziatische asbak, waarop zes namen staan gegraveerd:

D e M o r g a n
A b e l
B o o l e
B r o u w e r
S i er p i n s k i
W e i e r s t r a s s

Deze reeks namen blijkt een fragment te zijn van de volledige lijst van alle grote wiskundigen, en op de achterkant van de asbak staat de zin: ‘Trek 1 af van de diagonaal om Bach in Leipzig te vinden.’ De oplossing van het raadsel wordt verderop vermeld. Als je de vette letters vervangt door de voorafgaande letters in het alfabet krijg je in plaats van DBOUPS de naam van een andere grote wiskundige CANTOR. ‘Frisia non cantat’ wordt weleens beweerd. Een wiskundige die als naam het Latijnse woord boor ZANGER draagt, daar moet iets bijzonders mee zijn. Cantor (1845-1918) blijkt de grondlegger te zijn van de Verzamelingenleer en creëerde de zogenaamde Tweede Getalklasse, getallen die ontstaan door van een ordetype als oneindig het naast hogere element te nemen, dus:

Hofstadter gaat in zijn boek uitvoerig in op alles wat Cantor heeft bedacht, maar rept behalve in die ene naamsvermelding in het raadsel met geen woord over Brouwer.

Wie was L.E.J. Brouwer eigenlijk? Wikipedia vermeldt over hem onder meer het volgende:

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Overschie, 27 februari 1881 – Blaricum, 2 december 1966) was een Nederlandse wiskundige en filosoof. Hij is de grondlegger van de intuïtionistische wiskunde en van de moderne topologie. In 1907 promoveerde hij cum laude op een proefschrift getiteld ‘Over de grondslagen der wiskunde’. Brouwer verwierp het principe van de uitgesloten derde (tertium non datur) en daarmee ieder bewijs uit het ongerijmde. Van Wittgenstein wordt gezegd dat hij, geïnspireerd door Brouwer, weer aan filosofie ging doen. Wittgenstein vond eerder dat hij met zijn Tractatus alles al gezegd had wat er te zeggen viel.

Ik heb de dissertatie van Brouwer opgevraagd bij de PB,  de bibliotheek van Tresoar. Het boek moest kennelijk van heel ver komen, want pas na een paar dagen kreeg ik bericht dat ik het kon ophalen. Een lichte teleurstelling. Een onooglijk bruin boekje, formaat octavo, harde kaft, goudstempel op de rug, en spochtvlekken op de titelpagina. Toen ik het opensloeg rook ik de geur van oud papier. Er viel een blad uit. De stellingen van Brouwer. Ik raapte het op en zag dat het twee bladen waren die met een verroest nietje aan elkaar zaten. Mijn oog viel op stelling dertien:

XIII
De tweede getalklasse van CANTOR bestaat niet

Dat is wat je noemt lef hebben. Zes en twintig jaar zijn en beweren dat een van de beroemdste wiskundigen van je tijd uit zijn nek staat te kletsen. Thuisgekomen ben ik het boek gaan spellen, van begin tot eind. waarbij ik alleen de formules heb overgeslagen. En verdomd, op het moment suprème, midden in de bewijsvoering van stelling dertien, op pagina 150, vierde regel van onderen, daar stond hij, rillend in zijn prille naaktheid: een drukfout. Er staat ‘ogisch’ in plaats van ‘logisch’.

Ik heb slechts een existentiebewijs geleverd van iets dat voorkomt in een eindige, aftelbare verzameling. Maar ik heb niets geconstrueerd. Brouwer construeerde zijn eigen logica door het principe van de uitgesloten derde te verwerpen. Wiskundige objecten zijn volgens hem constructies van de geest. Wiskunde is een vrije activiteit die niet afhankelijk is van de ervaring en die zich baseert op een oerinstinct. Wat het oplevert is een open plek die het denken kapt in het oerwoud. De waarheid ligt niet in vaste spelregels gedefinieerd. Het woord ‘bewijs’ dient dan ook zoveel mogelijk te worden vermeden, laat staan een bewijs uit het ongerijmde. Of zoals Brouwer het zelf placht te zeggen. ‘Men zegt toch ook niet dat Whinger in 1865 de ‘beklimbaarheid’ van de Matterhorn heeft bewezen, maar dat hij de Matterhorn heeft beklommen.’

Op 2 december 1966 overleed Brouwer in Blaricum ten gevolge van een auto-ongeval. Zijn leerling Hans Freudenthal schreef in zijn in memoriam.

‘Brouwers stijl is die van een wiskundige die met zijn hoofd door een muur tracht te breken. Wonder boven wonder slaagde hij. Zijn goede genius wees hem de plaats waar de muur het zwakst was. Eén keer slaagde hij met zulk een brute methode en dat is één keer meer dan andere stervelingen beschoren is.’